1.4 0° 와 90° 의 삼각비 | 중학교 3학년 수학

Hook · 도입

"각이 $0°$ 에 가까워질 때 직각삼각형은 어떻게 변할까?"

예각 $A$ 가 작아질수록, 대변은 점점 짧아지고 인접변은 빗변에 가까워진다. 결국 각이 $0°$ 에 도달하면 — 삼각형이 평평해지고 대변이 사라진다. 반대로 $90°$ 에 도달하면 — 인접변이 사라지고 대변이 빗변과 같아진다.

Core · 0°

$0°$ 의 삼각비

Trigonometric Ratios at $0°$

1$A → 0°$ 일 때 변의 비율

예각 $A$ 가 $0°$ 에 가까워지면:

대변 → $0$ (사라짐)
인접변 → 빗변 (거의 같아짐)
빗변 → 일정

2정의

$\sin 0° = \dfrac{0}{\text{빗변}} = 0$
$\cos 0° = \dfrac{\text{빗변}}{\text{빗변}} = 1$
$\tan 0° = \dfrac{0}{\text{인접변}} = 0$

직관. 각이 없으면 "올라가는" 방향이 없으므로 sin = 0. 빗변과 인접변이 같으니 cos = 1. tan = sin/cos = 0/1 = 0.

Core · 90°

$90°$ 의 삼각비

Trigonometric Ratios at $90°$

1$A → 90°$ 일 때 변의 비율

예각 $A$ 가 $90°$ 에 가까워지면:

대변 → 빗변 (같아짐)
인접변 → $0$ (사라짐)
빗변 → 일정

2정의

$\sin 90° = \dfrac{\text{빗변}}{\text{빗변}} = 1$
$\cos 90° = \dfrac{0}{\text{빗변}} = 0$
$\tan 90° = \dfrac{\text{빗변}}{0} = $ 정의되지 않음

$\tan 90°$ 가 정의되지 않는 이유. 분모가 $0$ 이 되어 나눗셈이 성립하지 않는다. 함수 그래프에서는 $90°$ 근처에서 무한대로 발산.

3여각의 성질로 확인

여각 관계 $\sin \theta = \cos(90°-\theta)$ 를 양 끝값에서 검증:

$\sin 0° = \cos 90°$ → $0 = 0$ ✓
$\sin 90° = \cos 0°$ → $1 = 1$ ✓

Core · 완성된 표

$0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ — 5개 각 완성표

The Complete Special-Angle Table

θ	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin θ$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos θ$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\tan θ$	$0$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	정의 안 됨

대칭 관찰. $\sin$ 행은 $0$에서 $1$로 단조 증가, $\cos$ 행은 $1$에서 $0$로 단조 감소. $\sin θ$ 와 $\cos(90°-θ)$ 의 값이 일치하는 것을 표에서도 확인.

Insight · 값의 범위

$0° \leq \theta \leq 90°$ 에서 값의 범위

Range of Values

sin θ

$0 \leq \sin\theta \leq 1$

$\theta = 0°$ : $0$
$\theta = 90°$ : $1$
증가

cos θ

$0 \leq \cos\theta \leq 1$

$\theta = 0°$ : $1$
$\theta = 90°$ : $0$
감소

tan θ

$0 \leq \tan\theta < \infty$

$\theta = 0°$ : $0$
$\theta = 90°$ : $\infty$
증가 (가파르게)

Pitfalls · 주의

가장 자주 하는 실수 3가지

Three Common Pitfalls

실수 01 · 0과 1 혼동

$\sin 0°$ 와 $\cos 0°$ 를 헷갈림

잘못 : $\sin 0° = 1$

옳음 : $\sin 0° = 0, \;\; \cos 0° = 1$

"각이 없으면 올라가는 것 없음" → $\sin = 0$. 인접변이 그대로 빗변 → $\cos = 1$.

실수 02 · 90° 도 마찬가지로 혼동

$\sin 90°$ 와 $\cos 90°$ 헷갈림

잘못 : $\sin 90° = 0$

옳음 : $\sin 90° = 1, \;\; \cos 90° = 0$

각이 직각에 가까워지면 대변 = 빗변 → $\sin = 1$. 인접변 사라짐 → $\cos = 0$.

실수 03 · tan 90° 에 값 부여

$\tan 90°$ 를 무한대 또는 0으로 쓰기

잘못 : $\tan 90° = \infty$ 라고 답에 적기

옳음 : $\tan 90°$ 는 정의되지 않는다(부정)

분모가 $0$ 이 되어 나눗셈 불가능. 답에는 "정의되지 않는다" 또는 "부정"이라 적는다.

Interactive · 실험실

0° ~ 90° 전체 슬라이더

Full Range Slider

$0°$ 부터 $90°$ 까지 — 양 끝값에서 $\tan$ 의 변화를 관찰하라.

각도 θ = 45°

Quick Check · 즉문즉답

5문제 즉시 점검

Five Rapid Questions

Q1. $\sin 0°$ 의 값은?

Q2. $\cos 0°$ 의 값은?

Q3. $\sin 90°$ 의 값은?

Q4. $\cos 90°$ 의 값은?

Q5. $\tan 0°$ 의 값은?

Examples · 예제

풀이가 있는 두 예제

Worked Examples

예제 1 · 양 끝값 합

$\sin 0° + \cos 90° + \tan 0°$ 의 값을 구하라.

세 값 모두 $0$.

$\sin 0° = 0$
$\cos 90° = 0$
$\tan 0° = 0$
합 → $0 + 0 + 0 = 0$

예제 2 · 항등식 검증

$\sin^2 90° + \cos^2 90°$ 의 값을 구하라.

피타고라스 항등식 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ 이 $90°$ 에서도 성립하는지 확인.

$\sin 90° = 1, \;\; \cos 90° = 0$
$\sin^2 90° + \cos^2 90° = 1^2 + 0^2 = 1 + 0$
$= $ $1$
관찰 — 피타고라스 항등식이 $0° \leq \theta \leq 90°$ 전 범위에서 성립.

Practice · 연습

난이도별 연습 8문제

Eight Graded Problems

01★

$\sin 0°$ 의 값은?

02★

$\cos 90°$ 의 값은?

03★

$\sin 90° + \cos 0°$ 의 값은?

04★★

$\cos 0° - \sin 0°$ 의 값은?

05★★

$\sin 90° \cdot \tan 0°$ 의 값은?

06★★

$\sin^2 90° + \cos^2 90°$ 의 값은? [피타고라스 항등식]

07★★★

$0° \leq \theta \leq 90°$ 일 때 $\sin \theta$ 의 값의 범위는? (예: 0이상 1이하)

08★★★

$\tan 90°$ 의 값은? (예: 정의되지 않음)

$0°$ 에서 $90°$ 까지 — 삼각비의 완전한 풍경

직각삼각형에 존재할 수 없는 $0°, 90°$ 도 변의 비율의 극한으로 자연스럽게 정의된다. $\sin$ 은 $0$ 에서 $1$ 로, $\cos$ 은 $1$ 에서 $0$ 로, $\tan$ 는 $0$ 에서 무한대로. Ⅴ-1 의 4차시 완성 — 다음 단원에서 이 도구로 실제 거리·높이·각도를 측정한다.

"From cone slice to limit values — trigonometry's complete picture."

$0°$ 와 $90°$ 의 삼각비